Python求解数值积分-定积分求解

本小节求解下述定积分：
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\int_{0.7}^4(cos(2πx)e^{-x}+1.2)\mathrm{d}x
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数值积分-integrate

​ integrate模块提供了好几种数值积分的方法，包括常微分方程组(ODE)的数值积分。相关函数列表如下：

微实践 - 定积分求解

​ 本小节求解下述定积分：
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\int_{0.7}^4(cos(2πx)e^{-x}+1.2)\mathrm{d}x
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​ 为了方便说明，我们先使用下述代码画出示意图：

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import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

x = np.linspace(0,6,1000)
y = np.cos(2*np.pi*x)*np.exp(-x)+1.2

plt.axis([np.min(x),np.max(x),0,np.max(y)])           #坐标范围
plt.plot(x,y,label="$cos(2πx)e^{-x}+1.2$")      	  #画曲线，带图示
plt.fill_between(x,y1=y,y2=0,where=(x>=0.7)&(x<=4),   #填充积分区域
                 facecolor='blue',alpha=0.2)
plt.text(0.5*(0.7+4),0.4,r"$\int_{0.7}^4(cos(2πx)e^{-x}+1.2)\mathrm{d}x$",
         horizontalalignment='center',fontsize=14)    #增加说明文本
plt.legend()                                          #显示图示
plt.show()

执行结果：

​ plt.axis()函数设定了图的坐标范围。fill_between(x,y1=y,y2=0,where=(x>=0.7)&(x<=4)…)则用于填充积分区域，其中，x和y1构成曲线1; x和y2=0构成曲线2(也就是横坐标线)；该函数填充两条曲线之间x值域为[0.7,4]的部分，where参数指明了这个值域。facecolor指定填充颜色，alpha参数指定透明度。

​ plt.text()则在图上添加文本，前两个参数指定了文本的坐标位置，horizontalalignment=’center’要求文本在指定的位置水平居中摆放(指定位置位于文本的水平中心)。r”$…$“为文本内容：字符串前加表示放弃对字符串内的内容进行\转义；两个”为文本内容：字符串前加r表示放弃对字符串内的内容进行\转义；两个$包含起来说明其中的内容为LaTeX格式的公式。

​ 显然，上述定积分就是上图中阴影部分的面积。

​ 方法1：分成小矩形，计算面积和

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import numpy as np

x = np.linspace(0.7,4.0,1000)
y = np.cos(2*np.pi*x)*np.exp(-x)+1.2
dx = x[1] - x[0]                        #每个矩形的宽度
fArea = np.sum(y*dx)                    #矩形宽*高，再求和
print("Integral area:",fArea)

执行结果：

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Integral area: 4.032803310221616

​ 上述代码中，把曲线的阴影部分分成1000个矩形，每个矩形的宽都是dx，第i个矩形的高则是y_i。每个矩形的长乘宽，再求和，得积分面积。

​ 方法2：使用quad()函数进行积分

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import math
from scipy import integrate

def func(x):
    print("x=",x)       #用于展示quad()函数对func的多次调用
    return math.cos(2*math.pi*x)*math.exp(-x)+1.2

fArea,err = integrate.quad(func,0.7,4)
print("Integral area:",fArea)

执行结果：

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x= 2.35
x= 0.7430542279466668
x= 3.9569457720533334
x= 2.4613227224815875
...
x= 3.4178741117287044
Integral area: 4.029065401143393

​ 首先，我们定义了一个函数func()，它根据x计算y值。当对单个数值进行计算时，numpy的ufunc并不具备速度优势，所以我们使用了math模块。

​ integrate.quad()专门用于计算一元定积分，fArea,err = integrate.quad(func,0.7,4)取x值域[0.7,4]进行数值积分，在积分过程中，会反复调用func()函数计算y值。其返回一个元组，包括积分结果及误差。

​ integrate.quad()计算的积分会比方法1的矩形面积求和方法更加精确。

本文内容节选自作者编著的《Python编程基础及应用》（高等教育出版社）一书。

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