除了祖冲之的割圆法和格雷戈里公式,借助于循环和随机数,我们还可以通过一种特别有趣的方法来估算圆周率。

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  在历史的长河里,从古至今的数学家们尝试了无数种计算圆周率的方法。 其中,法国数学家布冯(1707年~1788年)和拉普拉斯(1749年~1827年)提出的方法比较有趣。

  在边长为2的正方形内有一个直径为2半径为1的内切圆。如图6-2所示。根据圆面积的计算公式,内切圆的面积 s = πr² ,由于r=1,所以π = 内切圆的面积。边长为2的正方形面积为4,那么在已知正方形的面积为4的情况下,如何求得内切圆的面积呢? 布冯提出了投针的方法。假设10 000根针“均匀随机”地垂直落在正方形上,每根针在正方形上形成一个“投点”,那么落入圆内的投点数量与圆的面积正相关,即:

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简单推导,可得:

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  假设有8 000根针落在了圆内,其余的2000根落在了圆外。此时,内切圆面积 ≈ 4 × 8 000 / 10 000 = 4× 0.8 = 3.2,即圆周率π ≈ 3.2。

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  下述代码模拟了上述过程,即将数量众多的针投射到正方形,然后通过估算内切圆面积求得π。

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//Project - FindPi
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
const int N = 10000; //投点总数
int nHits = 0; //圆内投点数

for (int i=0;i<N;i++){
double x = 2.0*rand()/RAND_MAX - 1.0; //随机数取投点x坐标
double y = 2.0*rand()/RAND_MAX - 1.0; //随机数取投点x坐标
if (x*x + y*y <= 1.0) //投点位于内切圆内
nHits += 1; //圆内投点数+1
}

double pi = 4.0*nHits/N; //通过计算圆面积估算圆周率
cout << "pi = " << pi;
return 0;
}

上述程序的执行结果为:

1
pi = 3.1464

第8 ~ 9行:常量N代表投点总数,变量nHits表示落在圆内的投点数。

第11 ~ 16行:使用循环进行N次投点。

第12 ~ 13行:随机计算投点的x坐标和y坐标。rand()返回0 ~ RAND_MAX的随机整数,rand()/RAND_MAX的值域为0 ~ 1,将该值乘2再减1,即得取值范围为-1 ~ +1的随机数。理论上,rand()函数返回的随机数在值域内是“均匀”分布的。

注意: 整数(rand())/整数(RAND_MAX)的结果为整数,为了确保整个计算过程统一使用双精度浮点数进行计算,作者先用2.0*rand(),然后再除RAND_MAX,由于2.0是double类型的字面量,C++会将rand()返回的整数类型提升为double,再与2.0进行相乘…

第14行:计算投点距离圆心的距离,如果距离<=1.0,说明投点在圆内。注意,作者在这里没有使用sqrt()进行开方运算,由于圆的半径是1.0,此时的开方在数学上是可以省略的。由于开平方运算需要花费大量的CPU时间,这种处理很有价值。

第15行:如果投点在圆内,将nHits加1。

第18行:按前述公式估算圆的面积,也就是pi。注意,正方形的面积为4.0。

  为了更形象地向读者展示投点法估算圆周率的数学原理,我们还用Python中的绘图库matplotlib绘制了下述投针示意图:这些投针点“均匀”地投在了正方形内,多数落入圆内,少数落在圆外。

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  读者可能会觉得上述圆周率的估算值3.1464不够准确。请修改N值,增加投针数量,再试一试。理论上,N越大,结果越精确。